> read `c:\\new micro\\italian\\text files\\i11.txt`:

Warning, the name changecoords has been redefined

ECONOMIA POLITICA I - MICROCONOMIA

Lezione 11

MINIMIZZAZIONE DEI COSTI E LA DOMANDA DEI FATTORI DELLA PRODUZIONE

Massimizzazione dei profitti e minimizzazione dei costi

L'obiettivo pincipale di qualsiase impresa è la massimizzazione dei profitti. Noi suddividiamo questa operazione in due stadi - prima la scelta degli inputs ottimali per qualsiasi possibile livello di output, quindi in secondo luogo la scelta dell'output ottimale. La prima di queste operazioni, la minimizzazione dei costi , è l'oggetto dell'analisi di questa lezione. La seconda, la massimizzazione dei profitti, verrà considerata nelle prossime due lezioni.

Curve di isocosto

Per studiare l'obiettivo dell'impresa considerato in questa lezione, cioè la minimizzazione dei costi per ogni possibile livello di output, introduciamo un importante concetto - quello di curva di isocosto ). Questo è il luogo delle combinazioni di inputs nello spazio ( ) che rendono il costo di produzione costante. Indichiamo il prezzo dei due inputs rispettivamente con e . Quindi il costo di usare la combinazione di inputs è data da . Questa espressione è lineare in e , e quindi una curva di isocosto, la cui espressione è , è una linea retta con inclinazione .

Nel grafico seguente illustriamo questa curva per e . Tracciamo diverse curve di isocosto: il costo lungo la curva più bassa è 20, lungo quella successiva è 40, quindi 60, ..., lungo quella più alta 180.

> plot01;

Scelta ottimale degli inputs

Ora scegliamo un livello di output e consideriamo il modo più economico di produrre quell'output. Rappresentiamo il livello desiderato di output con l'isoquanto appropriato. Ovviamente la sua posizione dipende dal livello di output scelto e dalla tecnologia. Assumiamo una tecnologia Cobb-Douglas simmetrica con rendimenti di scala costanti , e supponiamo che il livello desiderato di output sia . Il livello di output desiderato è rappresentato nel grafico seguente.

> plot02;

Qual'è la combinazione di inputs migliore? Chiaramente nel punto sulla curva di isocosto più bassa . Questa è inserita nel grafico seguente. Notate la condizione di ottimalità: nel punto ottimo l'inclinazione dell'isoquanto è uguale alla inclinazione della curva di isocosto. Questa condizione può essere scritta come .

> plot03;

Statica comparata - curve di domanda come funzioni dei prezzi

Ora siamo in grado di fare diversi esercizi statica comparata. Gli esercizi interessanti riguardano gli effetti sulla combinazione ottimale di inputs di cambiamenti nell'output e nei prezzi degli inputs. Iniziamo considerando come i livelli ottimali degli inputs dipendono dal prezzo dell'input 1 (per una dato prezzo dell'input 2 e per un dato livello di output).

> plot04;

Possiamo esprimere questa relazione in termini di curve di domanda per i due inputs - come funzioni del prezzo dell'input 1.

> plot05;

Ora consideriamo cosa succede se varia il prezzo dell'input 2 (per una dato prezzo dell'input 1 e un dato livello dell'output).

> plot06;

Come prima esprimiamo questa relazione come curve di domanda pert i due inputs - come funzione del prezzo dell'input 2.

> plot07;

Statica comparata - domande degli inputs come funzione dell'output

Ora variamo il livello desiderato di output - mantenendo i prezzi dei due inputs fissi.

> plot08;

Se esprimiamo le domande per i due inputs come funzione del livello di output desiderato otteniamo il grafico seguente:

> plot09;

Chiaramente con questa tecnologia le domande per gli inputs sono legate in modo lineare al livello desiderato di output.

Tecnologia Cobb-Douglas

Consideriamo ora una Cobb-Douglas non simmetrica e ripetiamo questi esercizi. Nei prossimi grafici usiamo una Cobb-Douglas con pesi 0.3 e 0.7 - notate che questa tecnologia ha rendimenti di scala costanti. Dapprimo, cambiamo il prezzo dell'input 1.

> plot10;

Ora disegnamo le curve di domanda.

> plot11;

Ora consideriamo i cambiamenti nel prezzo dell'input 2.

> plot12;

Esprimiamo questa relazione come curve di domanda.

> plot13;

Ora le variazioni nell'output

> plot14;

E le curve di domanda

> plot15;

E' possibile dimostrare che per una generica tecnologia Cobb-Douglas , le domande ottimali degli inputs sono date da

e .

Notate alcune proprietà importanti e sensate di queste funzioni. Primo, entrambe le funzioni sono crescenti nell'output, in modo convesso, lineare, concavo a seconda che sia minore, uguale, maggiore di 1is smaller than, equal to, or greater than 1. Questi risultati devono essere connessi ai rendimenti di scala - decrescenti, costanti, crescenti - della tecnologia sottostante alla scelta ottima della combinazione degli inputs. Secondo, la domanda per l'input 1 è una funzione decrescente del prezzo dell'input 1 e crescente del prezzo dell'input 2 - mentre esattamente l'opposto vale per la domanda dell'input 2.

Tecnologia CES (Constant Elasticity of Substitution)

Ripetiamo questi esercizi con una nouva tecnologia - la tecnologia CES. La proprieta' di questa tecnologia 'e che l'elasticita' di sostituzione e' costante. La funzione di produzione e' data d . Il parametro determina i rendimenti di scala: abbiamo i rendimenti di scale decrescenti, costante, crescenti se è rispettivamente minore, uguale, maggiore di 1. - you should be able to check that the technology displays decreasing, constant, increasing returns to scale according as is less than, equal to, or greater than 1 respectively. In primo luogo, esaminiamo le variazione nel prezzo dell'input 1:

> plot16;

In termini di funzioni di domanda.

> plot17;

Ora variamo l'output e consideriamo le funzioni di domanda.

> plot18;

In generale, per la tecnologia CES technology le domande degli input sono date da e

Sostituti perfetti

Ora guardiamo a quanto accade nei vari esercizi di statica comparata se i due inputs sono sostituti perfetti - in questo caso 1:2.

Dapprima variamo il prezzo dell'input 1.

> plot19;

Ora esprimiamo queste relazioni come funzioni del prezzo dell'input 1

> plot20;

Ora consideriamo gli effetti di variazioni nel livello deisderato di output.

> plot21;

Quindi in termini di funzioni di domanda.

> plot22;

Complementi Perfetti

Ripetiamo ora i vari esercizi di statica comparata quando i deu inputs sono complementi perfetti - in questo caso 1 con 2.

Dapprima variamo il prezzo dell'input 1.

> plot23;

Ora in termini di funzioni di domanda.

> plot24;

Quindi gli effetti di variazioni nel livello desiderato di output.

> plot25;

Infine in termini di funzioni di domanda.

> plot26;

Altre tecnologie e altri esercizi di statica comparata

Potremmo illustrare altre implicazioni, ma non abbiamo abbastanza tempo in questa lezione. Lo studente può controllare per conto proprio L'istruzione da fornire al prompt di Maple (> ) è la seguente:

pdw1[k] le domande dei beni come funzione del prezzo dell'input 1 con tecnologia k

pdw2[k] le domande dei beni come funzione del prezzo dell'input 2 con tecnologia k

pdy[k] le domande dei beni come funzione dell'output con tecnologia k

dove le tecnologie sono le seguenti:

k=1 tecnologia CES con parametri , e

k=2 sostituti perfetti 1:1

k=3 sostituti perfetti 1:2

k=4 complementi perfetti 1 con 1

k=5 complementi perfetti 1 con 2

k=6 tecnologia concava

k=7 Cobb-Douglas con pesi 0.5 e 0.5

k=8 Cobb-Douglas con pesi 0.3 e 0.7

k=9 Stone-Geary con pesi 0.5 e 0.5 e con 'livelli di sussistenza' 10 e 20

k=10 Stone-Geary con pesi 0.3 e 0.7 e con 'livelli di sussistenza' 10 e 20.

Provate ora - con la tecnologia Stone-Geary asimmetrica- a calcolare le domande per i due beni come funzione dell'output

> pdy[10];

>

>

>

>

>

Riassunto

Una curva di isocosto è il luogo dei punti nello spazio delle quantità tali da mantenere costante il costo della combinazione di inputs.

La combinazione di inputs ottimale (genralmente) è quella dove il TMS è uguale al rapporto tra i prezzi degli inputs.

Con sostituti perfetti viene utilizzato l'input più economico.

Con complementi perfetti si usano entrambi gli inputs.

Le domande per gli inputs sono funzioni decrescenti del loro prezzo, crescenti del prezzo dell'altro input.

Le domande per gli inputs crescono all'aumentare dell'output - l'inclinazione precisa dipende dalla tecnologia e dai rendimenti di scala.